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Il se dit que le comble pour un mathématicien est de passer une nuit sur une inconnue sans arriver à la résoudre. J’en ai passé deux, et j’ai résolu la seconde …

Le problème énoncé dans le même titre montre la limite d’une résolution analytique pour passer la vitesse supérieure, en utilisant un raisonnement plus proche de ceux utilisé en Arithmétique (Théorie des Nombres). On sait par Félix le Chat que le problème soumis aux demoiselles Patricia et Sophie est soluble dans l’eau. Mieux : les deux jeunes filles ont trouvé, ce qui signifie que le magnifique raisonnement de Michel contient une erreur quelque part, mais laquelle ? Alors reprenons …

Les chuchotements entre de Patricia et de Sophie donnent à penser que le champ des possibles se réduit très rapidement à un seul couple de nombre. Il faut reproduire la même démarche par une procédure d’élimination à partir d’un l’ensemble des couples [somme, produit] logiquement observables. Le concours d’un ordinateur personnel n’est pas inutile, même si la bonne vieille technique « papier - crayon - gomme » de nos ancêtres reste tout aussi puissante, voire aussi rapide, comme pour la résolution des Sudoku (nombre unique), version moderne des vieux bicarrés latins orthogonaux d’ordre N, chers à Georges Perec.

Au début, on se trouve avec 99*99 produits possibles, soit 9.801, et autant de sommes, puisque à chaque nombre B1 (99 au total), on peut lui associer 99 autres nombres, compris entre 2 et 100. Mais, il y en a beaucoup qui se répète, et c’est là où ça se corse !... Il faut donc faire des éliminations intelligentes. Tout d’abord, on va faire jouer les effets de symétrie et considérer qu’il n’y a en fait que 99*98/2 + 99 = 4.950 sommes et produits concevables.

Phase 1 : Patricia dit ne pas trouver : on peut donc éliminer avec sûreté tous les produits décomposables en deux nombres premiers exclusivement. Il reste les produits composés d’au moins trois nombres premiers (comptés avec leur ordre de multiplicité). Par exemple, ils ont la forme 3.3.7 = 63, 3 comptant pour deux fois, ou bien 3.7.17 = 357. Ce qui n’exclut bien entendu pas des produits du type 1.155 = 15*77 = 21*55 ==3.5.7.11, ou bien 9.504 = 96.99 = 2.2.2.2.2.3.3.3.11.

Une première remarque s’impose tout de suite : dans le dernier cas, il est certain que Patricia trouve immédiatement, car aucun des deux nombres ne pouvant excéder 100, la seule décomposition possible est 96*99. Donc, on doit aussi éliminer tous les produits observables qu’une fois, sinon Patricia aurait trouvé tout de suite … et Sophie itou, pour la raison qui est la clef du raisonnement conduisant à la solution.

Phase 2 : Après Patricia, on use de l’information donnée par Sophinette : élimination de toutes les sommes paires. Elles sont composées de toutes les sommes formées de deux nombres pairs ET de celles composées de tous les nombres impairs. Il ne doit rester que les sommes impaires, dont le produit des deux nombres est pair.

Phase 3 : Patricia a trouvé ! Ce qui veut dire que parmi l’ensemble des produits restants, il y en a un et un seul qui lui permet de déduire B1 et B2. Ce qui veut dire que le produit B1*B2 est unique.

Phase 4 : c’est ainsi que Sophie trouve, en cherchant les deux nombres, de somme constante égale à la somme qu’elle s’est vu attribuée, dont le produit est unique.

Toute déduction faite, on trouve B1 = 4, B2 = 13, S = 17 et P = 52.
Quod Erat Demonstrandum (Q. E. D)
Céline, Michèle, Jean-Michel, Hélène, Véronique, Michel, Bruno, Florence, Cécile, Julie … pas de question ? …
Bon, très bien …Merci de votre patience, bonsoir et à la semaine prochaine … Nous montrerons comment le Temps véhicule de l’Information.